AI가 준 리만 가설 관련 증명에 수학자들도 놀람

나 비노그라도프-코로보프 영점 없는 영역의 증명을 6개월째 공부 중임. 그 영역은 임계선 근처에서 매끈한 세로 종 모양인데, 이번 결과는 자명하지 않은 영점이 없는 반평면을 증명한 거임. 인류 역사 내내 이런 일이 일어날 줄 몰랐는데 내 생애에 보게 될 줄은 더더욱 몰랐음. 엄청난 일임.

진짜 그렇게 엄청난 함의라면 뭔지 이미 알았겠지. 이런 건 수학 좋아하는 사람한테만 대단하다는 뜻임.

기사에서 뉴욕대의 막심 라지윌로프는 더 제한적인 준리만 결과의 함의도 놀랍다고 했음. 리만 가설이 낳는 결과 대부분이 이미 준리만 가설에서 따라온다는 취지임. 리만 가설을 쓰는 많은 증명은 모든 영점이 1/2에 있다고까지 요구하지 않고, 영점이 1/8에서 7/8 사이에 있다고 제한하는 것만으로도 충분해서, 가정에 기대던 결과들을 조건 없는 정리로 만들 수 있다는 뜻으로 이해했음.

학계에 있는 사람들 걱정 마셈. 앞으로 수학상은 AI 증명을 설명할 수 있는 인간이 계속 받을 거임.

‘볼록 껍질’이라는 건 대충 서로 아주 세부적인 분야가 다른 두 사람이 각자 엄청난 일을 할 수 있고, 서로의 전문성까지 더하면 더 큰 일을 할 수 있다는 뜻임. 모든 분야에서 마찬가지고, LLM은 그런 지식의 교차 영역을 점점 더 많이 포착할 수 있음.

그래도 기사에서는 증명을 AI ‘슬롭’이라고 부르네. AI 콘텐츠를 부르는 다른 말이 필요할 때가 된 듯.

계속 엄청나다고만 하는데 아직도 무슨 의미인지 모르겠음. 이거 그냥 허풍인가 싶어지기 시작함.

슬롭은 AI라는 뜻이 아니라 대충 만든 결과물이라는 뜻임. 지금까지 나온 AI 증명은 발견이 진짜고 중요하더라도 글로 정리한 수준이 매우 떨어짐.

이런 문제를 낭만적으로 포장하는 건 답답함. 수론에 관심도 있고 수학이 아름답고 우아하다는 것도 앎. 멋진 건축물을 보며 얼마나 공들였을지 놀라는 것처럼, 증명을 보고 어떻게 해냈는지 감탄할 수는 있음. 하지만 이게 ‘엄청난’ 일이라고 외쳐도 결국 흥미로운 것일 뿐임. 언젠가 이해를 크게 바꾸는 계기가 될 수도 있겠지만, 다른 발전도 다 마찬가지임. 모든 진전이 우주의 숨겨진 원리와 이어진다고들 하지만 꼭 그렇진 않음. 복잡하고 흥미로운 퍼즐을 만들 수 있다는 사실과, 상상 가능한 것들이 현실에 많이 대응하지 않는다는 건 동시에 참일 수 있음.

생각보다 많은 분야가 서로 연결돼 있음. 겉보기엔 무관한 다른 분야의 기법으로 문제를 풀 수도 있음.

리만 가설이 참이라고 가정하면 성립하는 수학적 결과가 아주 많음. 가설이 증명되면 그런 결과들이 추측에서 정리로 바뀌는 거지. 유용한 결과가 많이 따라오고 그 결과들이 모두 참인 것처럼 보인다는 점이 수학자들이 언젠가 증명될 거라 믿고, 반증되면 놀랄 거라고 생각하는 이유 중 하나임. 그런데 오픈AI가 증명한 준리만 가설만으로도 그 미해결 결과들 상당수가 증명된다고 함. 그게 놀라운 부분임.

기사나 읽어보셈. ‘준리만 가설의 증명은 수론뿐 아니라 기하학과 이론 컴퓨터과학에서 나온 여러 결과를 한 번에 수학적 사실로 확립한다’고 돼 있음.

내가 말한 건 기사에서 기존 아이디어를 조합해 증명했다는 대목임. 즉 인간 지식의 ‘볼록 껍질’ 안에서 나온 증명이라는 것. 더할 말은 두 사람이 아니라 훨씬 많은 사람의 지식이 합쳐질 수 있다는 점임. 화학, 의학, 재료과학, 머신러닝, 생물학에서 나온 20가지 결과와 아이디어가 특정 질병의 치료법이 될 수도 있음. 사람은 여러 분야를 연구자 수준으로 익히기 어렵고, 통계학과 머신러닝처럼 가까운 분야도 용어와 목표, 역사적 배경이 달라 쉽지 않음.

구간을 [0, 1]에서 (0, 1)로 좁힌 것만으로도 큰 함의가 있었음. 끝점에서 멀리 떨어지게 제한한 건 더 강한 결과임.

좋은 추측을 세우거나 새로운 이론을 만드는 사람도 필요함. 가르치는 일도 있고. 수학자들이 할 일은 여전히 많음!

서로 다른 수학 분야의 교차가 핵심인 듯함. 타오가 넘버파일 인터뷰에서 말했듯 모든 요소를 한데 모을 수 있는 현역 수학자가 혼자 힘으로는 없었을 수도 있음. AI 수학에서 바라는 게 바로 이런 미친 분야 간 연결임. 게다가 예전엔 죽은 접근법 취급을 받던 아이디어를 되살렸음. 영점 없는 영역을 조금씩 제한하는 결과는 있었지만, 이렇게 고정된 경계를 실제로 얻은 건 처음임.

제발 누가 쉽게 설명해줄 수 있음? 이게 내 삶을 어떤 식으로 더 낫게 해주는 거임?

이 매스오버플로 게시물에 준리만 가설의 결과 몇 가지가 정리돼 있음. 답변 중 하나는 아스트라가 만든 결과 55개의 문서도 언급하는데, 아직 주장은 검증되지 않았다고 함.

참고로 수십 년 전에 나온 수학적 증명 중에도 수학자들이 아직 참인지 확신하지 못하는 게 있음.

수론 전공자는 아니고 수학과 이론 컴퓨터과학을 정식으로 배운 사람임. 얕게나마 관심 있는 주제를 파고드는 정도라 틀릴 수 있음. 요지는 기존 방법을 새 조합으로 썼다는 것임. 사르낙은 리만 가설을 제타 함수가 포함된 L-함수 전체를 공략해야 한다고 주장해 왔고, 모델은 헤케 L-함수 쪽으로 갔음. 자명하지 않은 영점의 실수부가 1에 가까우면 그 함수족이 지나치게 큰 값을 자주 갖게 되고, 이는 어떤 모멘트 추정과 충돌한다는 게 증명의 핵심이라고 함. 함의는 준리만 가설을 조건으로 참이라고 보던 결과들이 이제 확인됐고, 증명에 쓴 도구가 분야의 다른 결과에도 쓸 수 있다는 점임.